v ( x ) = ( 10 - 2 x ) ( 10 - 2 x ) x
v ( x ) = ( 10 - 2 x ) 2 x = ( 100 - 40 x + 4 x 2 ) x = 100 x - 40 x 2 + 4 x 3
v´( x ) = 100 - 80 x + 12 x 2 " v ´´ ( x ) = - 80 + 24 x
v´´ ( 5 / 3 ) = - 80 + ( 24 ) ( 5 / 3 ) = - 40
3 x 2 - 26 x + 25 = 0
x = - ( - 20 ± " ( - 20 ) 2 - 4 ( 3 ) ( 25 ) = 20 ± " 400 - 300
2 ( 3 ) 6
x = 20 ± " 100 = 20 ± " 100 = 20 ± 10
6 6 6
x 1 = 5 x 2 = 10 = 5
6 6
2.-una pagina rectangular contendra 30 pulgadas cuadradas de texto impreso. Los margenes de cada lado son de 1 pulgada. Encontrar las dimensiones de la pagina de manera tal que se use la menor cantidad de papel.
At = (x - 1)(y - 1)
siendo
x = tamaño horizontal (ancho) de la página
y = tamaño vertical (largo) de la página
Se les resta 1 a ambas medidas porque nos dicen que todas las márgenes son de 1 pulgada.
Además sabemos que esa área impresa es de 30 pulgadas², luego
30 pulgadas² = (x - 1)(y - 1)
para simplificar la escritura eliminemos las unidades:
30 = (x - 1)(y - 1)
luego
30 / (x - 1) = y - 1
[ 30 / (x - 1) ] + 1 = y . . . . (i)
Ahora bien, el área total A de la página será
A = xy
pero por (i) conocemos el valor de "y", así que podemos reemplazarlo:
A = x.{ [ 30 / (x - 1) ] + 1 }
A = [ 30x / (x - 1) ] + x
y nos piden minimizar esta área (..."de manera tal que se use la menor cantidad de papel"), entonces derivamos:
A' = { [ 30(x - 1) - 30x ] / (x - 1)² } + 1
A' = [ (30x - 30 - 30x) / (x - 1)² ] + 1
A' = [ -30 / (x - 1)² ] + 1
A' = 1 - [ 30 / (x - 1)² ]
y luego igualamos a cero para saber los valores críticos:
A' = 0
1 - [ 30 / (x - 1)² ] = 0
1 = 30 / (x - 1)²
(x - 1)² = 30
√[ (x - 1)² ] = ±√30
x - 1 = ±√30
x = 1 ± √30
Tenemos 2 posibles soluciones:
x = 1 + √30
ó
x = 1 - √30
