Aplicacion Del Calculo En La Vida Cotidiana

1.-Se pretende hacer una caja sin tapa de una lámina de aluminio de 10 cm. por lado (cuadrado) se deberá de cortar de las esquinas. ¿Cuánto se deberá de cortar en las esquinas para obtener un máximo volumen?


v ( x ) = ( 10 - 2 x ) ( 10 - 2 x ) x
v ( x ) = ( 10 - 2 x ) 2 x = ( 100 - 40 x + 4 x 2 ) x = 100 x - 40 x 2 + 4 x 3
v´( x ) = 100 - 80 x + 12 x 2 " v ´´ ( x ) = - 80 + 24 x

v´´ ( 5 / 3 ) = - 80 + ( 24 ) ( 5 / 3 ) = - 40
3 x 2 - 26 x + 25 = 0
x = - ( - 20 ± " ( - 20 ) 2 - 4 ( 3 ) ( 25 ) = 20 ± " 400 - 300
2 ( 3 ) 6
x = 20 ± " 100 = 20 ± " 100 = 20 ± 10
6 6 6
x 1 = 5 x 2 = 10 = 5
6 6


2.-una pagina rectangular contendra 30 pulgadas cuadradas de texto impreso. Los margenes de cada lado son de 1 pulgada. Encontrar las dimensiones de la pagina de manera tal que se use la menor cantidad de papel.



At = (x - 1)(y - 1)
siendo
x = tamaño horizontal (ancho) de la página
y = tamaño vertical (largo) de la página
Se les resta 1 a ambas medidas porque nos dicen que todas las márgenes son de 1 pulgada.
Además sabemos que esa área impresa es de 30 pulgadas², luego
30 pulgadas² = (x - 1)(y - 1)
para simplificar la escritura eliminemos las unidades:
30 = (x - 1)(y - 1)
luego
30 / (x - 1) = y - 1
[ 30 / (x - 1) ] + 1 = y . . . . (i)

Ahora bien, el área total A de la página será
A = xy
pero por (i) conocemos el valor de "y", así que podemos reemplazarlo:
A = x.{ [ 30 / (x - 1) ] + 1 }
A = [ 30x / (x - 1) ] + x
y nos piden minimizar esta área (..."de manera tal que se use la menor cantidad de papel"), entonces derivamos:
A' = { [ 30(x - 1) - 30x ] / (x - 1)² } + 1
A' = [ (30x - 30 - 30x) / (x - 1)² ] + 1
A' = [ -30 / (x - 1)² ] + 1
A' = 1 - [ 30 / (x - 1)² ]
y luego igualamos a cero para saber los valores críticos:
A' = 0
1 - [ 30 / (x - 1)² ] = 0
1 = 30 / (x - 1)²
(x - 1)² = 30
√[ (x - 1)² ] = ±√30
x - 1 = ±√30
x = 1 ± √30
Tenemos 2 posibles soluciones:
x = 1 + √30
ó
x = 1 - √30